Том 4. Статьи по философии и эстетике - Страница 93

Таковы все анализы, даваемые схоластикою, называющеюся иллюзионизмом. И таково согласие результатов его анализов с математикою. У него свои особенные математические истины, потому он во всем согласен с математикою. Противоречить ей! — возможно ли? — никогда! Она подтверждает все в нем. Он опирается на нее.

Он получает свои математические истины тем же способом, каким удалось нам доказать, что таблица умножения — вздор, которому не могут соответствовать никакие отношения между числами. Каким способом устроили мы этот вывод, вполне согласный с математикою? — Очень просто: мы исказили понятие о квадратном корне, объявив, что та дробь — квадратный корень числа 2. Арифметика говорит, что мы не можем извлечь квадратного корня из числа 2; не можем получить числа, которое, будучи перемножено само на себя, давало бы в произведении число 2; мы можем лишь формировать ряд чисел, каждое из которых, начиная со второго, будучи перемножено само на себя, дает в произведении число, более близкое к числу 2, чем давало, будучи перемножено само на себя, предшествовавшее число того ряда чисел. И если которое-нибудь из этого ряда чисел арифметика называет в каком-нибудь данном случае «квадратным корнем числа 2», то она объясняет, что употребляет это выражение лишь для краткости, вместо длинного точного выражения: «это число, будучи перемножено само на себя, дает в произведении дробь, настолько близкую к числу 2, что для данного случая эта степень приближения достаточна с практической точки зрения». — Мы отбросили это объяснение истинного смысла выражения «квадратный корень числа 2», дали выражению смысл, противоположный истинному его смыслу, — и этим способом приобрели «математическую истину», которая и дала нам вывод, что между числами не может быть никакого отношения, сколько-нибудь подобного понятию об умножении, — вывод, тоже составляющий математическую истину.

Отрицать математику! в наше время! Нет, в наше время это невозможно. Это могла делать средневековая схоластика. Но ни анализ понятия об умножении, сделанный нами по правилам анализов, какие дает иллюзионизм, никакой из этих анализов не отрицает математику. Напротив, иллюзионизм опирается на математические истины и его выводы согласны с математикою, подобно нашему анализу понятия об умножении выводу из этого анализа. Математика — о! — это основная наука всех наук; иллюзионизм не может не опираться на нее. Он любит опираться на нее. Его анализы, подтверждаемые истинами и всех других наук, опираются основным образом на математику. Он пользуется множеством математических истин. И особенно любит две из них. Полезны ему и все другие его математические истины. Но особенно полезны эти две, особенно любимые им. На них основаны важнейшие его анализы, — анализы понятий о пространстве, о времени, о материи.

Первая из них: «Понятие о бесконечном делении — понятие, которого мы не можем мыслить».

Это математическая истина; Каким же образом в математике беспрестанно попадаются соображения, основанные на понятии о бесконечной делимости чисел? И, например, что же такое прогрессии с неизменным числителем и постоянно возрастающим знаменателем? Математика не только говорит о них, как о прогрессиях, которые можно и надобно понимать, но и умеет суммировать многие разряды их.

Вторая из наиболее любимых иллюзионизмом математических истин: «понимание бесконечного ряда превышает силы нашего мышления».

Но что же такое, например, те «сходящиеся» геометрические прогрессии, суммированию которых очень легко выучиться, как не бесконечные ряды? Если мы можем даже суммировать их, то, вероятно, можем же понимать? — Но и из тех бесконечных рядов, сумма которых превышает всякую определенную величину, очень многие совершенно понятны, не то что при больших, но и при очень скромных сведениях в математике. Например, бесконечный ряд

...

1, 2, 3, 4…

понятен всякому, выучившемуся нумерации. Еще проще понять бесконечный ряд

...

1 + 1 + 1 + 1 + 1…

Чтобы понять его, достаточно узнать значение цифры 1 и знака +; так что легко понимать его и человеку, не успевшему еще ознакомиться ни с какими цифрами, кроме единицы. А сумма того ли, другого ль из этих рядов превышает всякую данную величину.

И добро бы те ряды, понимание которых иллюзионизм провозглашает превышающим силы человеческого мышления, были из числа рядов, понимание которых невозможно без понимания каких-нибудь формул, не понятных людям, не изучавшим высшую математику. Нет, дело идет о рядах, понимаемых всеми грамотными людьми. Та математическая истина, что человеческий ум не в силах понимать бесконечную делимость, провозглашается по поводу вопроса, понятна ли человеку простейшая из сходящихся геометрических прогрессий, понимать и суммировать которые научает всех желающих арифметика; дело тут идет о прогрессии

...

1, 1/2, 1/4, 1/8…

Этого ряда чисел не в силах мыслить человеческий ум. А вторая математическая истина, говорящая, что понимание бесконечных рядов превышает силы человеческого мышления, говорит это по поводу простейшего из рядов чисел, формируемых чрез сложение, о ряде чисел, с непостижимостью которого мы уже ознакомились:

...

1 + 1 + 1 + 1 + 1…

Да, об этих двух рядах чисел, — об этих, именно об этих, математическая истина говорит, что понимание их превосходит силы человеческого мышления.

Какую ж надобность имеет математическая истина говорить это? — А извольте читать:

«Понятие о пространстве требует мыслить о пространстве, как о делимом до бесконечности и как о безграничном. Мыслить бесконечную делимость наш ум не может; это превышает силы человеческого мышления. А мыслить безграничность, значит мыслить бесконечный ряд, образуемый сложением конечных величин; это также превышает силы человеческого мышления. Итак, понятие о пространстве требует, чтобы нами было мыслимо то, чего мы не можем мыслить; всякая наша попытка мыслить понятие о пространстве — попытка мыслить немыслимое. Из этого ясно, что понятие о мышлении — понятие, противоречащее самому себе, то есть иллюзия нашего мышления, и что нет и не может быть ничего сообразного с этой иллюзиею».